బీజగణితం గణితశాస్త్రం లో ఒక విభాగం, ఇది పరిక్రియలు మరియు సంబంధాలు, నియమాలు మరియు పదాలు, బహుపదులు, సమీకరణాలు మరియు బీజగణిత నిర్మాణాలు సహా, వాటి నుంచి ఉద్భవించే నిర్మాణాలు మరియు భావాలపై అధ్యయానాన్ని గురించి వివరిస్తుంది. క్షేత్రగణితం, విశ్లేషణ, సంస్థితిశాస్త్రం, సమ్మేళనము (కాంబినేటరిక్స్) మరియు సంఖ్యా వాదముతో కలిపి బీజగణితాన్ని ఔపపత్తిక గణితశాస్త్రంలోని ప్రధాన విభాగాల్లో ఒకదానిగా పరిగణిస్తారు. బీజగణితంలో ఒక భాగాన్ని ప్రాథమిక బీజగణితం అని పిలుస్తారు, ఇది ఉన్నత విద్యా పాఠ్యాంశాల్లో భాగంగా ఉంది మరియు ఇందులో సంఖ్య లకు సంబంధించిన చలరాశుల అంశాలు పరిచయం చేయబడతాయి. ఈ చలరాశుల ఆధారిత వివరాలను సంఖ్యలకు అనువర్తింపజేసే, సంకలనం వంటి పరిక్రియలకు సంబంధించిన నియమాలను ఉపయోగించి అనుసంధానం చేయవచ్చు. దీనిని సమీకరణ సాధన వంటి వివిధ తర్కాలను ఉపయోగించి చేయవచ్చు. ప్రాథమిక బీజగణితం మరియు వివిధ పరిక్రియా నియమాలను ఉపయోగించినప్పుడు మరియు సంఖ్యలు కాని అంశాలకు పరిక్రియలను వర్తింపజేసినప్పుడు వచ్చే ఫలితాలపై అధ్యయనాల కంటే బీజగణితం బాగా విస్తృతమైనది. సాధారణీకరించదగిన సంకలనం మరియు గుణకారాలకు సంబంధించిన సరైన నిర్వచనాలు సమూహాలు, వలయాలు మరియు క్షేత్రాలు వంటి నిర్మాణాలకు దారితీస్తాయి.
ఆల్జీబ్రా (బీజగణితం) అనే పదం అరబిక్ భాష (అల్-జబర్, అక్షరాలా الجبر , పునస్థాపనం ) నుంచి ఉద్భవించింది, దీని యొక్క పద్ధతుల్లో ఎక్కువ భాగం అరబిక్/ఇస్లామిక్ గణితశాస్త్రం నుంచి వచ్చాయి, వాటి మూలాలను దీనికి పూర్వ సంప్రదాయాల్లో గుర్తించవచ్చు, ముఖ్యంగా పురాతన భారతీయ గణితశాస్త్రంలో వీటి మూలాలు కనిపిస్తాయి, భారతీయ గణితశాస్త్రం యొక్క ప్రత్యక్ష ప్రభావం ముహమ్మద్ బిన్ ముసా అల్-ఖ్వారిజ్మ (c. 780-850)పై స్పష్టంగా కనిపిస్తుంది. ఆయన భారతీయ గణితశాస్త్రాన్ని నేర్చుకున్నాడు, తన యొక్క అంకగణిత గ్రంథం, కితాబ్ అల్-జామ్’వాల్ తఫ్రీఖ్ బి హిసాబ్ అల్-హిందీ (బుక్ ఆన్ ఎడిషన్ అండ్ సబ్‌స్ట్రాక్షన్ ఆఫ్టర్ ది మెథడ్ ఆఫ్ ది ఇండియన్స్ ) ద్వారా ఆయన భారతీయ గణితశాస్త్రాన్ని ముస్లిం ప్రపంచానికి పరిచయం చేశాడు.ఆయన తరువాత అల్-కితాబ్ అల్-ముహ్తాసార్ ఫి హిసాబ్ అల్-జబర్ వా-ల్-ముఖాబలా ( ది కాంపెడియస్ బుక్ ఆన్ కాల్క్యులేషన్ బై కంప్లీషన్ అండ్ బాలెన్సింగ్), క్షేత్రగణితం మరియు అంకగణితంల నుంచి బీజగణితం స్వతంత్ర గణితశాస్త్ర విభాగంగా సుస్థిరమయ్యేందుకు ఈ గ్రంథం ఉపయోగపడింది.
బీజగణితం యొక్క మూలాలను పురాతనబాబిలోనియన్ల గణితశాస్త్రంలో గుర్తించవచ్చు,ఒక క్రమసూత్ర పద్ధతిలో గణనలు చేయగల ఒక ఆధునిక అంకగణిత వ్యవస్థను బాబిలోనియన్లు అభివృద్ధి చేశారు. సరళ సమీకరణాలు, వర్గ సమీకరణాలు మరియు అనిర్దిష్ట సరళ సమీకరణాలు ఉపయోగించి ఈ రోజు పరిష్కరిస్తున్న సమస్యలకు పరిష్కారాలను గణించేందుకు బాబిలోనియన్లు సూత్రాలను అభివృద్ధి చేశారు. వీరికి విరుద్ధంగా, మొదటి సహస్రాబ్ది వి సి లోఈజిప్ట్, గ్రీకు మరియు చైనా దేశాలకు చెందిన అనేక మంది గణిత శాస్త్రజ్ఞులు సాధారణంగా ఇటువంటి సమస్యలను క్షేత్రగణిత పద్ధతులను ఉపయోగించి పరిష్కరించేవారు. ఆర్‌హింద్ గణితశాస్త్ర తాళపత్రాలు , యూక్లిడ్ యొక్క ఎలిమెంట్స్|యూక్లిడ్ యొక్కఎలిమెంట్స్, మరియు ది నైన్ ఛాప్టర్స్ ఆఫ్ ది మాథమ్యాటికల్ ఆర్ట్ వంటి గ్రంథాల్లో ఇవి వర్ణించబడ్డాయి. నిర్దిష్ట సమస్యల పరిష్కారాలను సమీకరణాల వివరణ మరియు పరిష్కారానికి సంబంధించిన మరింత సాధారణీకరించిన వ్యవస్థల్లోకి అన్వయించేందుకు సూత్రాలను (నియమాలను) సాధారణీకరించడానికి ఎలిమెంట్స్ లో ప్రస్తావించబడిన గ్రీకుల క్షేత్రగణిత వివరాలు వేదికను అందజేశాయి. మధ్యయుగ ముస్లిం గణిత శాస్త్రజ్ఞులు దీనిని సాకారం చేశారు.
బీజగణితాన్ని స్థూలంగా ఈ కింది విభాగాలుగా వర్గీకరించవచ్చు:
ప్రాథమిక బీజగణితం , ఇందులో స్థిరాంకాలను మరియు చలరాశులను సూచించేందుకు "స్థానపతులను" గుర్తులుగా ఉపయోగించి నిజ సంఖ్యా వ్యవస్థలో పరిక్రియల లక్షణాలను నమోదు చేస్తారు మరియు ఈ గుర్తులతో ఉన్న గణిత సమాసాలను మరియు సమీకరణాలకు సంబంధించిన నియమాలను అధ్యయనం చేస్తారు. దీనిని పాఠశాలలో బీజగణితంఅనే పేరుపై (లేదా మాధ్యమిక బీజగణితం మరియుకళాశాల బీజగణిత విభాగాలను తరువాతి సంవత్సరాల్లో) నేర్పిస్తారు. సమూహ వాదములో విశ్వవిద్యాలయ-స్థాయి కోర్సులను కూడా ప్రాథమిక బీజగణితం గా పిలుస్తారు.
వియుక్త బీజగణితం , కొన్నిసార్లు దీనిని ఆధునిక బీజగణితం అని కూడా పిలుస్తారు, ఇందులో సమూహాలు, వలయాలు మరియు క్షేత్రాలు వంటి బీజగణిత నిర్మాణాలను సిద్ధాంత ఆధారంగా నిర్వచించడంతోపాటు పరిశోధిస్తారు.
సరళ బీజగణితం , ఇందులో సదిశరాశుల అంతరాళాలను అభ్యసిస్తారు (మాత్రికలతో సహా);
విశ్వ బీజగణితం , ఇందులో అన్ని బీజగణిత నిర్మాణాలకు సమానమైన లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తారు.
బీజీయ సంఖ్యా వాదము , ఇందులో బీజగణిత వ్యవస్థల ద్వారా సంఖ్యల లక్షణాలను అధ్యయనం చేస్తారు. బీజగణితంలో వాస్తవ పరిగ్రహణం యొక్క స్ఫూర్తి సంఖ్యా వాదములో బాగా కనిపిస్తుంది.
బీజీయ క్షేత్రగణితం క్షేత్రగణిత సమస్యలకు వియుక్త బీజగణితాన్ని వర్తింపజేస్తుంది.
బీజీయ సమ్మేళనశాస్త్రం , ఇందులో సమ్మేళన ప్రశ్నలను అధ్యయనం చేసేందుకు వియుక్త బీజగణిత పద్ధతులను ఉపయోగిస్తారు.
అధునాతన అధ్యయనం యొక్క కొన్ని కోణాల్లో, బీజగణిత నిర్మాణంతో అవిరుద్ధంగా ఉండే క్షేత్రగణిత నిర్మాణం (ఒక కొలమానం లేదా ఒక సంస్థితిశాస్త్రం) సమక్షంలో సమూహాలు, వలయాలు, క్షేత్రాలు వంటి సిద్ధాంతపరమైన బీజగణిత వ్యవస్థలను మరియు ఒక క్షేత్రం యొక్క బీజగణితాన్ని అధ్యయనం చేస్తారు. ఈ జాబితా ప్రమేయ విశ్లేషణ యొక్క అనేక విభాగాల్లో విస్తరించి ఉంది:
సాధారణ సరళ అంతరాళాలు
బనాక్ అంతరాళాలు
హిల్‌బెర్ట్ అంతరాళాలు
బనాక్ బీజగణితం
సాధారణ బీజగణితం
సంస్థితి బీజగణితం
సంస్థితి సమూహాలు