త్రిభుజాలు - Triangles

 

త్రిభుజం
    మూడు భుజాలతో (రేఖాఖండాలు) ఏర్పడే సరళసంవృత పటాన్ని 'త్రిభుజం' అంటారు. త్రిభుజాన్ని Δ గుర్తుతో సూచిస్తారు.
త్రిభుజ భాగాలు: ఒక త్రిభుజం మూడు శీర్షాలను, మూడు భుజాలను, మూడు కోణాలను కలిగి ఉంటుంది.
 శీర్షాలు: P, Q, R
భుజాలు:  
కోణాలు:  P లేదా QPR లేదా RPQ
            Q లేదా PQR లేదా RQP
             R లేదా QRP లేదా PRQ
త్రిభుజ అంతరం - బాహ్యం
⇒ త్రిభుజం ABCలో PQ బిందువులు త్రిభుజ అంతరంలో ఉన్నాయని అంటారు.
R, S బిందువులు త్రిభుజంపై ఉన్నాయని అంటారు.
T, U బిందువులు త్రిభుజానికి బాహ్యంగా (వెలుపల) ఉన్నాయని అంటారు.
 
⇒  ABC త్రిభుజంలో శీర్షం Aకు ఎదురుగా BC అనే భుజం ఉంటుంది.
 దీని పొడవును 'a' తో సూచిస్తారు. ఇదేవిధంగా B, C లకు ఎదురుగా ఉన్న భుజాలను b, c లతో సూచిస్తారు.
త్రిభుజ రకాలు: భుజాల కొలతల ఆధారంగా త్రిభుజాలను 3 రకాలుగా విభజించారు.
అవి: 1) సమబాహు త్రిభుజం
        2) సమద్విబాహు త్రిభుజం
        3) విషమబాహు త్రిభుజం
సమబాహు త్రిభుజం: అన్ని భుజాల కొలతలు సమానంగా ఉంటే ఆ త్రిభుజాన్ని 'సమబాహు త్రిభుజం' అంటారు.
ΔABC ఒక సమబాహు త్రిభుజం అయితే
  
ii) A = B = C = 60o
 సమద్విబాహు త్రిభుజం: ఏవైనా రెండు భుజాల కొలతలు సమానంగా ఉన్న త్రిభుజాన్ని 'సమద్విబాహు త్రిభుజం' అంటారు.
ΔABC ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజం అయితే
i) AB = BC లేదా BC = CA లేదా CA = AB
 విషమబాహు త్రిభుజం: ఏ రెండు భుజాల కొలతలు సమానంగా లేని త్రిభుజాన్ని 'విషమబాహు త్రిభుజం' అంటారు.
ΔABC ఒక విషమబాహు త్రిభుజం అయితే
  
ii) A ≠ B ≠ C
* కోణాల కొలతల ఆధారంగా త్రిభుజాలను మూడు రకాలుగా విభజించారు. అవి:
     1) అల్పకోణ త్రిభుజం
     2) లంబకోణ త్రిభుజం
     3) అధిక కోణ త్రిభుజం
 అల్పకోణ త్రిభుజం: ఒక త్రిభుజంలోని అన్ని కోణాలు అల్పకోణాలైతే (<90o) ఆ త్రిభుజాన్ని 'అల్పకోణ త్రిభుజం' అని అంటారు.
 
లంబకోణ త్రిభుజం
* ఇందులో ఒక కోణం లంబకోణం లేదా సమకోణం లేదా 90o ఉంటుంది. ఒక త్రిభుజంలో లంబకోణం B వద్ద ఉంటే AB2 + BC2 = AC2 అవుతుంది.
* లంబకోణానికి ఎదురుగా ఉన్న భుజాన్ని 'కర్ణం' అంటారు.
* కర్ణం మిగిలిన రెండు భుజాల కంటే పెద్దదిగా ఉంటుంది.
 * లంబకోణం త్రిభుజంలో కర్ణం కాకుండా మిగిలిన రెండు భుజాలు సమానంగా ఉంటాయి. అయితే ఆ త్రిభుజాన్ని లంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం అంటారు.
* B = 90o, AB = BC కాబట్టి ΔABCలంబకోణ సమద్విబాహు త్రిభుజం.
 అధికకోణ త్రిభుజం: త్రిభుజంలో ఒక కోణం
అధిక కోణం (90o కంటే ఎక్కువ, 180o కంటే తక్కువ) అయితే ఆ త్రిభుజాన్ని 'అధికకోణ త్రిభుజం' లేదా 'గురుకోణ త్రిభుజం' అంటారు.
త్రిభుజ ధర్మాలు
* త్రిభుజంలోని మూడు కోణాల మొత్తం 180o.
* త్రిభుజంలోని ఏ రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తమైనా మూడో భుజం పొడవు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది.
* త్రిభజంలోని ఏ రెండు భుజాల పొడవుల భేదమైనా మూడో భుజం పొడవు కంటే తక్కువగా ఉంటుంది.
* ఒక త్రిభుజంలోని రెండు భుజాలు అసమానంగా ఉన్న పెద్ద భుజానికి ఎదురుగా ఉన్న కోణం పెద్దది.
* ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన భుజాలకు ఎదురుగా ఉన్న కోణాలు సమానం.
* ఒక సమద్విబాహు త్రిభుజంలో సమాన కోణాలకు ఎదురుగా ఉన్న భుజాలు సమానం.
* ఒక సమబాహు త్రిభుజంలో ప్రతికోణం 60oఉంటుంది.
* ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజాన్ని పొడిగించగా ఏర్పడే బాహ్యకోణం అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం.
* త్రిభుజంలో ఒక భుజాన్ని పొడిగిస్తే ఏర్ప‌డిన బాహ్య‌కోణం అంత‌రాభిముఖ కోణాల కంటే పెద్ద‌ది.
* లంబకోణ త్రిభుజంలో 90o కోణానికి ఎదురుగా ఉండే భుజాన్ని కర్ణం అంటారు. ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలో కర్ణం అతి పొడవైన భుజం.
* ఏ త్రిభుజంలోనైనా పెద్దకోణానికి ఎదురుగా ఉండే భుజం పెద్దది.
» ఏ త్రిభుజంలోనైనా పెద్దభుజానికి ఎదురుగా ఉండే కోణం కొలత మిగిలిన వాటి కంటే ఎక్కువ.
 
త్రిభుజ అసమానత్వపు నియమాలు
 * ఒక త్రిభుజంలోని ఏ రెండు భుజాల పొడవుల మొత్తమైనా మూడో భుజం పొడవు కంటే ఎక్కువగా ఉంటుంది. దీన్ని 'త్రిభుజ అసమానత్వపు నియమం' అంటారు.
AB + BC > AC                   c + a > b
BC + CA > AB    (లేదా)      a + b > c
CA + AB > BC                   b + c > a
* త్రిభుజంలో ఒక భుజాన్ని పొడిగించగా ఏర్పడే బాహ్యకోణం అంతరాభిముఖ కోణాల కంటే పెద్దది.
* ఒక త్రిభుజంలో ఏవైనా రెండు భుజాల కొలతల 'భేదం మూడో భుజం కొలత కంటే తక్కువ'.
 
త్రిభుజ అంతరకోణాల మొత్తం
* ఒక త్రిభుజంలోని మూడు అంతరకోణాల మొత్తం రెండు లంబకోణాలకు సమానం.
* ΔABCలో  A + B + C = 2 × 90o = 180o
త్రిభుజ బాహ్యకోణాల మొత్తం
* ఒక త్రిభుజంలో బాహ్యకోణం దాని అంతరాభిముఖ కోణాల మొత్తానికి సమానం.
i) A + B = ACD
ii) B + C = BAD
iii) A + C = CBD
త్రిభుజ బాహ్యకోణాల ధర్మాలు
 * ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజాన్ని పొడిగించగా త్రిభుజ బాహ్యంలో ఏర్పడే కోణాన్ని 'బాహ్యకోణం' అంటారు.
* ఒక త్రిభుజం మూడు బాహ్య కోణాలను కలిగి ఉంటుంది.
* ఒక త్రిభుజంలో ఒక భుజాన్ని పొడిగించగా ఏర్పడే బాహ్యకోణం అంతరాభిముఖ కోణాల కంటే పెద్దది.
 
* ఒక త్రిభుజంలో బాహ్యకోణం, దాని పక్కన ఉన్న అంతరకోణాల మొత్తం 180o అవుతుంది.