Geometric Origins - జ్యామితీయ మూలాలు

 జ్యామితీయ మూలాలు - Geometric origins

• జామెట్రీ అనేది ఒక ఆంగ్ల పదం. ఇది గ్రీకు పదాలైన జియో, మెట్రియన్‌ల నుంచి వచ్చింది. జియో, మెట్రియన్ అంటే కొలవడం అని అర్థం.
• ఈజిప్ట్‌లోని అలెగ్జాండ్రియాకు చెందిన యూక్లిడ్ 'ఎలిమెంట్స్' పేరుతో 13 పుస్తకాలను సంకలనం చేశాడు. అందుకే ఆయనను 'రేఖాగణిత పితామహుడు' అంటారు.
• జ్యామితిలో బిందువు, రేఖ, కిరణం, తలాలను అనిర్వచిత పదాలుగా స్వీకరిస్తాం.
• నిర్వచనం అవసరంలేని జ్యామితీయ ధర్మాలను స్వయం నిర్దేశిత సత్యాలని యూక్లిడ్ పేర్కొంటు వాటిని స్వీకృతాలు, సామాన్య భావనలుగా విభజించాడు.
• యూక్లిడ్ జ్యామితిని స్వీకృతాలు అనే పునాది మీద నిర్మించి, అభివృద్ధి చేసి స్వీకృతాలకు ఆద్యుడయ్యాడు. అందుకే అతడిని రేఖాగణిత పితామహుడు అంటారు.  

యూక్లిడ్ జ్యామితి స్వీకృతాలు

• స్వీకృతం - 1: ఒక బిందువు నుంచి ఏ బిందువుకైనా రేఖను గీయవచ్చు. (లేదా)
• రెండు వేర్వురు బిందువుల ద్వారా వెళ్లే సరళరేఖ ఏకైకంగా ఉంటుంది.
• స్వీకృతం - 2: ఒక రేఖ ఖండాన్ని ఇరువైపులా అనంతంగా పొడగించవచ్చు.
• స్వీకృతం - 3: ఇచ్చిన కేంద్రం, వ్యాసార్ధాలతో వృతాన్ని గీయవచ్చు.
• స్వీకృతం - 4: లంబకోణాలన్నీ ఒక దాంతో మరొకటి సమానం.
• స్వీకృతం - 5: రెండు దత్త సరళరేఖలను ఖండించే సరళరేఖ దానికి ఒకే వైపున ఉన్న అంతరకోణాల మొత్తం రెండు లంబకోణాల కంటే తక్కువగా ఉండేలా చేస్తుంది. అప్పుడు దత్త సరళరేఖలను నిరంతరం పొడిగిస్తే అవి రెండు లంబకోణాల కంటే తక్కువైన మొత్తం కోణాల వైపున కలుసుకుంటాయి.

యూక్లిడేతర జ్యామితులు: యూక్లిడ్ జ్యామితిలోని 5వ స్వీకృతం బదులుగా వేరే స్వీకృతాలను ప్రతిక్షేపిస్తే వాటిని యూక్లిడేతర జ్యామితులు అంటారు.

• రెండు రేఖలు ఒకే రేఖకు సమాంతరంగా ఉంటే అవి ఒకదానికి మరొకటి సమాంతరంగా ఉంటాయి.
• ఒక సిద్ధాంతాన్ని తార్కిక సోపానాల క్రమంతో నిరూపిస్తాం.
• సిద్ధాంత నిరూపణ అనేది సిద్ధాంతం నిత్య విలువను సందేహానికి తావులేకుండా నిరూపించే ఒక తార్కికవాద ప్రక్రియ.

గోల్డ్ బ్యాక్ పరికల్పన: నాలుగు అంతకంటే పెద్దదైన ప్రతి సరిసంఖ్యను కూడా రెండు ప్రధాన సంఖ్యల మొత్తంగా రాయవచ్చు.

లెజెండర్ స్వీకృతం: ఒక త్రిభుజం మూడుకోణాల మొత్తం ఎల్లప్పుడూ స్థిరంగా ఉంటుంది. ఇది రెండు లంబకోణాలకు సమానం 

Δ ABCలో A + B + C = 180°

ఫ్రోక్లెన్ స్వీకృతం: ఒక జత సమాంతర రేఖల్లో ఒకదాన్ని ఏదైనా సరళరేఖ ఖండిస్తే, అది సమాంతర రేఖల్లో రెండో దాన్ని కూడా ఖండిస్తుంది.

ఫోసిడో మినస్ స్వీకృతం: రెండు సమాంతర రేఖలు, వాటి మధ్య దూరం సమానంగా ఉండేలా అంతటా వ్యవస్థితమవుతాయి.

ప్లేఫెయిర్ స్వీకృతం: ఒక సరళరేఖకు దానిపై లేనటువంటి ఏదైనా బిందువు ద్వారా ఒకే ఒక సమాంతర రేఖను గీయవచ్చు.

1. పరికల్పనలు: సత్యం లేదా అసత్యం అని నిరూపించలేని ప్రవచనాలను పరికల్పనలు అంటారు.

2. సామాన్య భావనలు: ఒకే నిర్దేశిత గణిత వ్యవస్థలో సందర్భానుసారం స్వయం నిర్దేశిత సత్య ప్రవచనాలను సామాన్య భావనలు అంటారు.

కొన్ని ముఖ్యమైన యూక్లిడ్ సామాన్య భావనలు:

• ఒకే రాశులకు సమానమైన రాశులు సమానం.
• సమాన రాశులను, సమాన రాశులతో కూడగా వచ్చే మొత్తాలు సమానం.
• ఒకదాంతో మరొకటి ఏకీభవించే వస్తువులు లేదా పటాలు పరస్పరం సమానం.
• ఒక వస్తువు మొత్తం దాని భాగం కంటే ఎల్లప్పుడూ పెద్దది.
• సమాన రాశుల రెట్టింపులు సమానాలు.
• సమాన రాశుల్లో సగాలు సమానం.

సిద్ధాంతాలు: నిరూపితమైన ప్రతిపాదనలను సిద్ధాంతాలు అంటారు.సత్యమని నిరూపించిన పరికల్పనలు సిద్ధాంతాలుగా రూపొందుతాయి. 

ప్రాథమిక జ్యామితీయ భావనలు

బిందువు: ఒక పెన్సిల్‌తో కాగితంపై చిన్న చుక్కను పెడితే దాన్ని బిందువు అంటారు. దీన్ని P అని చదువుతాం. ఒక సమతలం అనంత బిందువుల సమితి. 

రేఖ: రెండు వైపులా ఎంత దూరమైనా పొడిగించడానికి వీలుండే దాన్ని రేఖ అంటారు. దీన్ని కొలవలేం. రేఖకు అంత్య బిందువులు ఉండవు. 

కిరణం: ఒకే ఒక అంత్య బిందువు కలిగిన రేఖను 'కిరణం' అంటారు. దీన్ని   తో సూచిస్తారు. కిరణాన్ని ఒక వైపు మాత్రమే పొడిగించవచ్చు. 

రేఖాఖండం: రెండు అంత్య బిందువులు ఉన్న రేఖను 'రేఖాఖండం' అంటారు. రేఖాఖండాన్ని కచ్చితంగా కొలవవచ్చు. ఇది రేఖలో భాగం. 

వక్రం: సరళరేఖ కానటువంటి రేఖను వక్రం అంటారు.

ఉదా:

 

             

i) సంవృత వక్రం: పూర్తిగా మూసి ఉన్న వక్రాన్ని 'సంవృత వక్రం' అంటారు.

ఉదా:

 

             

ii) వివృత వక్రం: పూర్తిగా మూయలేని వక్రాన్ని 'వివృత వక్రం' అంటారు.

ఉదా:

 

             

* ఒక సంవృత పటం తలాన్ని మూడు బిందు సమితులుగా విభజిస్తుంది.

అవి: i) తలానికి అంతరంగా

ii) తలంపై (పటంపై, సరిహద్దు పై)

iii) తలానికి బాహ్యంగా