పూర్ణ సంఖ్యలు | 7th Maths

• 1, 2, 3 . . . అంటూ లెక్కించడానికి ఉపయోగించే సంఖ్యలను సహజ సంఖ్యలు అంటారు.
• సహజ సంఖ్యలలో
•   కనిష్ట సంఖ్య 1
•   గరిష్ట సంఖ్య చెప్పలేము.
• సహజ సంఖ్యా సమితిని N తో సూచిస్తారు
•   N = {1, 2, 3, 4, 5, . . . . }
• సహజ సంఖ్యలకు ‘0’ (పూర్ణము లేదా సున్నా) ను చేర్చితే ఏర్పడే సంఖ్యలను పూర్ణాంకాల సంఖ్యలు లేదా పూర్ణాంకాలు అంటారు.
• పూర్ణాంకాలు 0, 1, 2, . . .
• పూర్ణాంకాలలో
•   కనిష్ట సంఖ్య 0
•   గరిష్ట సంఖ్య చెప్పలేము.
• పూర్ణాంకాల సమితిని W తో సూచిస్తారు
•   W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . }
• ఋణ సంఖ్యలను, పూర్ణాంకాలను కలుపగా ఏర్పడే సంఖ్యలను ‘పూర్ణ సంఖ్యలు’ అంటారు.
• పూర్ణ సంఖ్యలు . . . -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .
• పూర్ణ సంఖ్యలలో
•   కనిష్ట సంఖ్య చెప్పలేము.
•   గరిష్ట సంఖ్య చెప్పలేము.
• పూర్ణ సంఖ్యా సమితిని Z చే సూచిస్తారు.
•   Z = { . . . -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 . . . .}
• ఒక సంఖ్యకు ధన పూర్ణ సంఖ్యను కలిపినపుడు సంఖ్యారేఖపై కుడివైపునకు, ఋణపూర్ణ సంఖ్యను కలిపినపుడు సంఖ్యా రేఖపై ఎడమవైపునకు జరుగుతాము.
• ఒక సంఖ్య నుండి ధనపూర్ణ సంఖ్యను వ్యవకలనం చేసినపుడు సంఖ్యా రేఖపై ఎడమవైపునకు, ఋణపూర్ణ సంఖ్యను వ్యవకలనం చేసినపుడు సంఖ్యారేఖపై కుడివైపునకు జరుగుతాము.
• పూర్ణ సంఖ్యల గుణకారం విషయంలో
• ధన పూర్ణ సంఖ్య, ధన పూర్ణ సంఖ్యల లబ్ధము – ధనపూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది.
• ధన పూర్ణ సంఖ్య, ఋణ పూర్ణ సంఖ్యల లబ్ధము – ఋణపూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది.
• ఋణ పూర్ణ సంఖ్య, ధన పూర్ణ సంఖ్యల లబ్ధము – ఋణ పూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది.
• ఋణపూర్ణ సంఖ్య, ఋణ పూర్ణ సంఖ్యల లబ్ధము – ధనపూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది.
• గుణకారాలలో ఋణపూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య ‘సరి సంఖ్య’ అయితే లబ్ధము ధనపూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది.
• గుణకారాలలో ఋణపూర్ణ సంఖ్యల సంఖ్య ‘బేసి సంఖ్య’ అయితే లబ్ధము ఋణపూర్ణ సంఖ్య అవుతుంది.
• ఒక ఋణపూర్ణ సంఖ్యను మరొక ఋణపూర్ణ సంఖ్య చే భాగించగా భాగఫలము ఒక ధన సంఖ్య అవుతుంది.
• సంకలనం విషయంలో
• పూర్ణ సంఖ్యల ధర్మాలు – సంవృత ధర్మం ప్రకారం రెండు పూర్ణ సంఖ్యల మొత్తము ఎల్లపుడూ పూర్ణ సంఖ్యయే అవుతుంది.
• అంటే a మరియు b లు ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలైన a+b కూడా పూర్ణ సంఖ్యయే అవుతుంది.
• స్థిత్యంతర ధర్మము లేదా వినిమయ న్యాయం అనుసరించి రెండు పూర్ణాంకాలను కూడే క్రమంలో సంఖ్యలను పరస్పరం మార్చినా ఫలితంలో ఎటువంటి భేదము రాదు.
• అంటే a మరియు b లు ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే a + b = b + a
• పూర్ణ సంఖ్యల సంకలనమునకు సహచర ధర్మము వర్తిస్తుంది.
• అంటే a, b మరియు c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే (a+b)+c = a+(b+c)
• పూర్ణ సంఖ్యకు ‘0’ ను కూడినా అదే పూర్ణ సంఖ్య ఫలితముగా వస్తుంది. కనుక ‘0’ ను పూర్ణ సంఖ్యలకు సంకలన తత్సమాంశం అంటారు.
• a ఏదైనా పూర్ణ సంఖ్య అయిన a+0 = 0+a = a
• పూర్ణ సంఖ్యలు సంకలన విలోమమును కలిగియుంటాయి.
• అంటే a ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయితే a + (-a) = 0 అగునట్లుగా (-a) అను పూర్ణ సంఖ్య ఉంటుంది.
• a మరియు (-a) లు ఒకదానికొకటి సంకలన విలోమాలు.
• గుణకారం విషయంలో
• పూర్ణ సంఖ్యలలో గుణకార ధర్మాలు – సంవృత ధర్మం అనుసరించి రెండు పూర్ణ సంఖ్యల లబ్ధము కూడా ఎల్లపుడూ పూర్ణ సంఖ్యయే అవుతుంది.
•   అంటే a మరియు b లు రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అయిన axb కూడా పూర్ణ సంఖ్యయే అవుతుంది.
• పూర్ణ సంఖ్యలు గుణకార స్థిత్యంతర ధర్మాన్ని పాటిస్తాయి. అంటే గుణకారం విషయంలో పూర్ణ సంఖ్యలను పరస్పరం వాటి స్థానాలను మార్చినా ఫలితము మారదు.
• అంటే a మరియు b లు ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలైన a x b = b x a
• పూర్ణ సంఖ్యల సహచర ధర్మము అనుసరించి a, b, c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే (axb) x c = a x (bxc)
• పూర్ణ సంఖ్యలు విభాగ న్యాయం పాటిస్తాయి. a, b మరియు c లు ఏవైనా మూడు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే ax(b+c) = axb + axc
• పూర్ణ సంఖ్యలలో గుణకార తత్పమాంశము 1. అంటే ఏ పూర్ణ సంఖ్యనైనా 1 తో గుణించినపుడు అదే పూర్ణ సంఖ్య ఫలితంగా వస్తుంది.
• a ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయిన a x 1 = 1 x a = a
• ఏ పూర్ణ సంఖ్య సంఖ్యను అయినా సున్నాతో గుణించినపుడు వచ్చే ఫలితము సున్నానే అవుతుంది.
• a ఏదైనా ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయిన a x 0 = 0 x a = 0
• వ్యవకలనం విషయంలోపూర్ణ సంఖ్యలలో వ్యవకలనం విషయంలో సంవృత ధర్మము వర్తిస్తుంది.
• అంటే a మరియు b లు ఏవైనా రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే a – b కూడా పూర్ణ సంఖ్యయే అవుతుంది.
• పూర్ణ సంఖ్యలలో స్థిత్యంతర ధర్మం వ్యవకలనం విషయంలో వర్తించదు.
• అంటే a, b లు రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అయినపుడు a – b, b – a లు రెండూ సమానం కావు.
• భాగాహారం విషయంలో
• పూర్ణ సంఖ్యలు భాగాహారం విషయంలో సంవృత ధర్మం వర్తించదు.
• అంటే a, b లు రెండు పూర్ణ సంఖ్యలు అయితే a/b, b/a లు రెండూ సమానం కావు.
• పూర్ణ సంఖ్యల విషయంలో భాగాహారమునకు స్థిత్యంతర ధర్మము కూడా వర్తించదు.
• a ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయితే a ÷ 0 నిర్వచింపబడదు. a ఒక శూన్యేతర పూర్ణ సంఖ్య అయితే 0 ÷ a = 0.
• a ఏదైనా ఒక పూర్ణ సంఖ్య అయితే a ÷ 1 = a.